537 - Enseigner la géométrie durant l’enseignement obligatoire : enjeux, réalités, résultats et perspectives

Cette recherche entre dans le cadre de l’étude de l’apprentissage de la géométrie plane dans l’enseignement obligatoire au Niger. L’objectif principal de cette étude est d’identifier et de caractériser les difficultés des élèves puis d’analyser le potentiel du développement de la pensée géométrique. Pour faciliter la transition primaire – collège, les élèves doivent acquérir des compétences sur l’identification d’une figure géométrique usuelle (C1), le tracé des figures géométriques usuelles (C2), l’utilisation correcte des matériels géométriques (C3) et le déplacement sur un quadrillage (C4). Le cadre théorique de cette étude s’articule autour de l’approche cognitive de l’apprentissage de la géométrie (Duval, 1994, 1995, 2005 ; Duval, Godin & Perrin-Glorian, 2005 ; Petitfour, 2015). L’échantillon porte sur 232 élèves de 6ème d’un établissement public du secondaire. Ces élèves ont été évalués sur les compétences C1, C2, C3 et C4 puis catégorisés selon leurs difficultés. De là un processus de remédiation de ces difficultés a été engagé sur huit semaines. A la fin du processus de remédiation, les élèves sont soumis aux mêmes épreuves du test afin de déterminer les progrès réalisés. Il ressort des premiers résultats que la plupart des élèves éprouvent plus des difficultés en C2 et C3. Ces résultats montrent également que 46% n’ont pas les compétences requis en géométrie, 10% ont partiellement les compétences et seul 44% ont les compétences.

Duval (2005) définit deux grandes manières de voir les objets en géométrie, dont le fonctionnement cognitif est très différent pour l’élève : la visualisation iconique qui est la perception habituelle des objets et la visualisation non iconique, propre à la géométrie, où l’identification des objets repose sur une déconstruction de ces objets. Il distingue ainsi cinq manières de voir, deux iconiques (le botaniste et l’arpenteur-géomètre) et trois non iconiques (le constructeur, qui demande une déconstruction instrumentale, l’inventeur-bricoleur qui implique une déconstruction heuristique, et la déconstruction dimensionnelle des formes). Les nombreuses difficultés rencontrées par les élèves en géométrie théorique peuvent être expliquée par le passage difficile vers la visualisation non iconique. L’objectif de cette recherche est d’analyser les programmes de géométrie de l’enseignement primaire et du début de l’enseignement secondaire/collège dans quatre pays francophones (la Belgique, la France, la Suisse et le Canada) afin d’identifier si les différentes manières de voir se retrouvent et se répartissent de la même façon dans les prescrits. L’analyse des items rattachés au constructeur a ensuite été affinée, grâce à la classification de Duval et Godin (2005). Les résultats mettent en lumière des éléments qui interpellent quant à l’enseignement de la géométrie : dans certains programmes, l’arpenteur et l’inventeur sont presque absents.

Les premiers apprentissages géométriques se basent essentiellement sur des tâches de reconnaissance perceptive des formes usuelles (carré, rectangle et triangle, voire le cercle). Selon Gentaz et Pinet (2008) la manipulation participe à une meilleure reconnaissances des formes planes. Nos travaux (Coutat & Vendeira, 2015) montrent, quant à eux, qu’un enseignement basé sur l’emploi exclusif des formes usuelles engendre un certain nombre d’obstacles. Ainsi, à la suite de ces travaux, nous avons développé et testé une collection de formes planes manipulables et non usuelles constituée de pochoirs et gabarits à encastrer pour des élèves de 4 à 7 ans.

A l’appui de la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998), des activités géométriques ont été élaborées à partir de cette collection. Ces dernières jouent avec certaines variables didactiques (Vendeira, 2019) dans le but d’influencer le regard des élèves sur les formes. Les jeunes élèves mobilisent d’abord une vision iconique (Duval, 2005). Les activités développées visent à enrichir cette vision en développant une vision de quelques caractéristiques constitutives des formes (Vendeira & Coutat, 2017). Dès l’âge de 6-7 ans, s’ajoute l’objectif de développer une flexibilité du regard qui allie vision iconique, vision par les caractéristiques voire un mixte conjoint des deux (vision hybride) (Celi et al., 2019). L’idée étant que l’élève soit capable de mobiliser le regard le plus adéquat en fonction de la situation vécue.

Dans le passage du primaire au secondaire, le paradigme géométrique institutionnel (Houdement et Kuzniak, 2006 ; Houdement, 2007) est amené à changer, ce qui modifie le rapport attendu des élèves aux figures géométriques. De nombreuses recherches pointent le rôle potentiel du dessin instrumenté dans la conceptualisation de notions géométriques (Duval et Godin, 2005 ; Perrin-Glorian et Godin, 2014 ; Mathé, Barrier et Perrin-Glorian, livre), les instruments à disposition des élèves étant considérés comme une variable didactique.

Pour permettre des apprentissages géométriques à des élèves empêchés de manipuler des instruments (élèves en situation de handicap), Petitfour (2017, 2018) a développé la dimension langagière liée aux constructions instrumentées avec l’usage d’un langage technique. Dans les programmes mathématiques français du cycle 3 (9-12 ans), on trouve le dessin à main levée. Peu de recherches en didactique de la géométrie s'intéressent à ce type de dessin. L'observation d'une séance en primaire (9-11 ans) et une analyse didactique, complétée par une analyse sémiotique (Arzarello, 2006 ; Radford, 2009 ; Houdement et Petitfour, 2018, 2020) des données révèlent la potentialité du dessin à main levée pour l'évolution des connaissances géométriques des élèves.

Actuellement, nombreux sont les travaux en didactique de la géométrie qui étudient des situations fondamentales pour l’enseignement-apprentissage du domaine (Mathé et al., 2020). Nous postulons que certaines de ces situations offrent des conditions idoines pour lever des obstacles liés aux tensions entre géométrie physique et géométrie théorique, en élaborant un contrat attaché à une géométrie – dite des tracés – qui s’appuie « sur la reproduction instrumentée de figures pour avancer vers la conceptualisation des objets de la géométrie théorique » (Mathé et al., ib., p. 56). Par ailleurs, des travaux ont mis en évidence des pratiques différenciées et différenciatrices de l’enseignement de la géométrie (Chesnais, 2018 ; Bulf & Celi, 2020), notamment dues à leur grande complexité. En particulier, les travaux s’intéressant aux pratiques d’enseignant·e·s, qui mettent en œuvre des situations fondamentales, pointent les difficultés éprouvées à investir les enjeux potentiels portés par les variables didactiques (Mangiante, 2021). Notre communication s’inscrit dans ce contexte et s’appuie sur l’analyse de séances de classe, en France, qui suscitent des difficultés pour les enseignant·e·s ainsi que pour les élèves. Nous cherchons à mettre au jour en quoi une analyse de l’agir enseignant (Bucheton & Soulé, 2009) peut aider à décrire des gestes professionnels spécifiques de cette façon d’enseigner la géométrie et offrir ainsi des points d’appui pour la formation des enseignant.e.s.

Plusieurs recherches rapportent des difficultés éprouvées par des enseignants du primaire sur certains contenus mathématiques enseignés (Brown, Cooney et Jones, 1990 ; Fennema et Franke, 1992 ; Bauersfeld, 1994; Ekimova, 2005). À partir de cette analyse, nous avons élaboré une épreuve qui permet de tracer un portrait des compétences géométriques des futurs enseignants des mathématiques au début du cours de didactique de la géométrie. Les questions et les tâches de cette épreuve tiennent compte de différents obstacles dans l’apprentissage et de différents phénomènes dans l’enseignement de la géométrie décrits par les recherches en didactique des mathématiques (van Hiele, 1959/1985; Bishop, 1989; Hershkowitz, 1989; Clements et Battista, 1992; Capponi et Laborde, 1995; Duval, 1995). Dans cette communication, nous présentons les questions du test et les résultats obtenus dans 2 groupes des étudiants futurs enseignants des mathématiques (1 groupe de l’université québécoise et 1 groupe de l’université russe) en les associant à la typologie des difficultés, ainsi qu’aux éléments théoriques sur lesquels s’appuient l’analyse des questions et l’interprétation des réponses. L’identification des difficultés des étudiants suivies de la discussion se révèlent importantes pour la formation dans la mesure où elles servent du point de départ à leur analyse, à l’analyse du contexte de leur apparition, à l’introduction des théories et à la recherche des conditions permettant leur résolution

Notre étude porte sur l’enseignement et l’apprentissage du repérage dans le plan et dans l’espace où à la croisée des mathématiques et de la géographie, les élèves du début du primaire sont amenés à apprendre à se situer dans l’espace qui les entoure et à situer des objets de cet espace relativement à différents points de repères dans le but de s’y déplacer. Dans la lignée de (Brousseau, 1983), la thèse, maintenant ancienne de Berthelot et Salin (1999) a permis de mieux cerner les enjeux scolaires des connaissances spatiales. Néanmoins, de nombreux travaux de psychologie (Denis, 2016) et l’évolution des technologies, aussi bien des GPS et de Google que des jeux vidéos, nécessitent que de nouveaux travaux soient menés en didactique des mathématiques (Coutat, 2020). Dans le cadre d’un projet de recherche (SPAGEO-Subside FNS n°100019_188947/1), en lien avec des psychologues et des chercheur.es en technologie, nous avons conçu une ville virtuelle, et expérimentons une ingénierie didactique auprès d’une cohorte d’une centaine d’élèves, que nous suivons sur trois années (grades 2, 3 et 4). Dans notre présentation, nous nous focaliserons sur l’analyse de messages écrits, produits par des élèves de 7 ans pour décrire un trajet dans cette ville virtuelle, en nous appuyant sur divers travaux et cadres théoriques, dont ceux des registres sémiotiques (Duval, 1993), de spatial orientation (Clements, 1999) et des connaissances spatiales (Marchand, 2020).

La géométrie 3D est un domaine des mathématiques qui fait l’objet de nombreuses difficultés d’apprentissage, notamment puisqu’il exige des habiletés visuelles et spatiales (Clements & Sarama, 2007). L’une de ces difficultés concerne le travail avec des représentations 2D d’objets 3D (Kondo et al., 2014). Pour accompagner les apprenants, les environnements numériques, avec par exemple les solides virtuels dynamiques, semble constituer une piste évoquée par plusieurs auteurs. Ce type de matériel propose aux élèves de travailler dans un espace que Bertolo (2014) qualifie de 2 ½ D, situé entre le monde réel physique en 3D et le monde graphique en 2D.  Mais les enfants et adolescents arrivent-il a bien percevoir la 3D lorsqu’ils sont confrontés à ce type de support, et la manipulation par l’enfant via interface tactile impacte-t-elle la perception ? C’est à ces questions que la communication répond en présentant la méthodologie et les résultats d’une expérimentation. Celle-ci permet ainsi d’illustrer la manière dont des expérimentations en psychologie cognitivo-développementale viennent au service de la réflexion sur l’enseignement-apprentissage de la géométrie. Les premiers résultats permettent par exemple de relever que la perception de la 3D dans des environnements virtuels constitue un obstacle pour de nombreux apprenants, même au secondaire, et que la manipulation par l’élève ne semble pas impacter leur perception.