5a. Résumé
Une pondération sur les graphes (simples, finis) est la donnée d’une fonction, dite de poids, définie sur les graphes, qui prend des valeurs scalaires ou polynomiales et qui est invariante sous les isomorphismes, c’est-à-dire sous les réétiquetages des sommets du graphe. Étant donné que la plupart des concepts de base de la théorie des graphes partagent cette propriété d’invariance, les exemples de pondérations sur les graphes sont très nombreux. On s’intéresse ici au poids de Mayer, wM(c), d’un graphe connexe c, sur l’ensemble [n] = {1, 2, . . ., n} de sommets, dans le contexte d’un gaz non idéal dans un volume V.
L’intérêt de la somme totale des poids de Mayer de tous les graphes connexes sur [n] = {1, 2, . . ., n}, en mécanique statistique, provient du fait que la pression P du système est donnée par sa fonction génératrice exponentielle. Puisque, il est bien connu que le poids de Mayer wM est multiplicatif sur les composantes 2-connexes. Il suffit donc de calculer les poids de Mayer wM(b) pour les graphes 2-connexes b ∈ B[n] (B pour blocs). De plus, ce poids apparaît dans le développement du viriel proposé par Kamerlingh Onnes, en 1901.
Tandis que les physiciens s’intéressent à la somme de tous les graphes connexes ou 2-connexes d’un ordre donné, le présent travail se concentre sur les contributions individuelles de graphes et leur signification combinatoire.
