201 - Les mathématiques appliquées en sciences de l'environnement

Par nécessité, l'homme doit faire face aux problèmes de l'environnement. Parmi les grandsproblèmes actuels, on peut citer les risques liés à la pollution. Les mathématiciens appliquésjouent ici un rôle important. En effet, d'une part, ils essayent d'améliorer la compréhensionmathématique de phénomènes physiques et d'autres part, ils travaillent en collaborationavec les physiciens pour lesquels ils apportent des outils adaptés.Dans cet exposé, on s'intéresse essentiellement à la partie de ces recherches concernantle transport de polluants et plus précisément, le problème direct, qui concerne la déterminationde la concentration connaissant la source de pollution ainsi que les paramètresphysiques (vecteur de transport, coefficient de diffusion, etc). On dira juste quelques motssur le problème inverse d'identification de sources ou de paramètres qui est un autre axe derecherche.Les problèmes de convection–diffusion décrivent les phénomènes de transport de quantitésscalaires, vectorielles ou tensorielles. Ils régissent une grande variété de phénomènesphysiques apparaissant en hydrodynamique, aéronautique, astrophysique, météorologie, etégalement en transports de polluants. On montre qu'une façon de contourner les difficultés liées à la convection dominante et aux couches limites est de combiner unebonne technique de stabilisation avec un raffinement adaptatif basé sur une estimation aposteriori de l'erreur.

Nous étudions les poids de graphes (à savoir les invariants de graphes) qui apparaissent naturellement dans la théorie de Mayer et de Ree-Hoover du développement du viriel dans le contexte de gas non-idéaux. Nous nous intéressons spécialement au poids de Mayer et de Ree-Hoover pour un graphe 2-connexe provenant d'un gaz à noyaux durs en dimension un. Ces poids sont calculés en utilisant des volumes signés de polytopes convexes associés au graphe en utilisant la méthode des homomorphismes de graphes, que nous avons aussi adaptée au cas du poids de Ree-Hoover. En faisant appel à l'inversion de Möbius, nous présentons des relations entre les poids de Mayer et de Ree-Hoover. Parmi nos résultats, nous donnons des formules explicites pour le poids de Mayer et de Ree Hoover pour certaines familles infinies de graphes 2-connexes.

La propagation des feux de forêt est un phénomène environnemental complexe etdifficile à modéliser. La capacité de développer un modèle pour simuler de manièreprécise et rapide la propagation du feu réside dans le choix des variables, des approximationspour les équations de la mécanique des fluides et des méthodes numériquespour les résoudre.Une nouvelle approche couplée pour le feu et l'atmosphère sera présentée. Le couplageentre les modèles est assuré par l'effet de la chaleur dégagée par le feu. Celui-ciest pris en compte dans le calcul du vent environnant qui contribue en partie à lavitesse de propagation du feu.Le modèle atmosphérique repose sur une contrainte de divergence du champ vectorielpour le vent avec un terme source singulier qui représente la chaleur émisepar le feu. Une méthode de projection permet de résoudre cette équation à l'aide del'Embedded Boundary Method. Une description de cette approche cartésienne pour larésolution d'une équation de Poisson dans un domaine irrégulier sera présentée. Lesdifficultés numériques dues à la régularisation de la singularité du terme source serontdiscutées. Des simulations permettront d'illustrer les différents aspects de ce modèlecouplé pour la propagation des feux de forêt.

Les écoulements atmosphériques sont fortement influencés par la rotation de la Terre et la stratification. À l'échelle synoptique (~1000-10000 km), il existe une balance approximative (nommée géostrophique) à l'horizontal entre la force de Coriolis et le gradient de pression horizontal, ainsi qu'une balance verticale (équilibre hydrostatique) entre le gradient vertical de pression et la gravité. La prédominance de ces balances à grande échelle permet de simplifier les équations de Navier-Stokes à l'équation quasi-géostrophique (QG), l'une des approximations les plus utiles en météorologie. Cependant, cette balance dynamique simplifiée cesse progressivement d'être valide à mesure que les modèles contemporains parviennent à des résolutions plus élevées, d'où la nécessité d'approfondir notre compréhension de la dynamique atmosphérique dans un contexte plus général que QG.

Bien que plusieurs résultats importants peuvent être déduits par des analyses purement théoriques, les simulations numériques demeurent au cœur de la recherche. Diverses méthodologies sont employées dans la littérature, menant à une pluralité de perspectives (notamment en ce qui concerne le rôle de la tropopause) sur le problème qui devront être réconciliées. Dans cette présentation, nous introduirons les avancées majeures au cours des dernières décennies vers une meilleure compréhension de cette transition dynamique avec une emphase particulière sur les contributions de notre groupe de recherche.

La régression des quantiles est un outil statistique privilégié pour étudier la relation entre la variable réponse et des variables explicatives. Dans plusieurs domaines, l'estimation des quantiles, correspondants à certaines probabilités au non-dépassement, permet de déterminer le risque associé aux événements extrêmes. L'approche basée sur la régression des quantiles permet d'estimer le risque conditionnel à certains facteurs, appelés covariables.

La majorité des méthodes développées permettent l'estimation des quantiles pour une seule probabilité à la fois. Ces approches pourraient conduire à un problème de croisement (crossing-problem) entre les courbes et par conséquent au non-respect de la propriété d'ordre entre les quantiles de la même distribution. Il est important de développer des approches permettant une estimation simultanée des courbes des quantiles en respectant le principe de non croisement.

Des études ont proposé des approches pour la résolution de ce problème. Cependant, plusieurs hypothèses sont faites sur l'espace des covariables. Nous présentons dans le cadre de ce travail, la notion de croisement pour la régression des quantiles avec des pistes de recherche pour la résolution de ce problème dans le cas d'espace de covariables quelconque.

La fréquence et l'intensité des évènements hydrométéorologiques extrêmes sont particulièrement affectés par les variabilités climatiques et causent des dommages humains et matériels importants. Le modèle des séries de durées partielles (SDP) permet de modéliser simultanément ces deux processus et tient compte des propriétés asymptotiques des extrêmes. En effet, l'intensité et la fréquence des dépassements suivent une loi de Pareto Généralisée et une loi de Poisson, respectivement.

Dans le cadre de ce travail on s'intéresse au modèle SDP avec covariables afin d'intégrer le maximum d'information possible pour l'estimation de l'intensité et la fréquence des précipitations extrêmes qui constituent le principal apport au cycle de l'eau. Cette estimation est d'une grande utilité pour l'étude des phénomènes hydrologiques, la gestion adéquate des ressources en eau et la conception des ouvrages hydrauliques. On s'intéresse particulièrement au développement du modèle de Pareto Généralisé avec covariables. La structure de dépendance des covariables est représentée par des fonctions de type splines et l'estimation des paramètres est faite dans un cadre bayésien. On présentera les résultats de l'analyse des précipitations extrêmes du sud-est du Canada par un modèle SDP ainsi qu'une discussion sur le choix des covariables, l'estimation des paramètres et le problème de surdispersion.

La température de l'eau en rivière est une variable de première importance, puisqu'elle influence entre autres la capacité de dissolution de l'eau et le métabolisme des organismes vivants qui s'y trouvent. L'objectif de cette étude consiste à comparer des modèles de température de l'eau durant la période sans glace, sur une rivière aménagée (présence d'un barrage et d'un réservoir). L'analyse comparative a été complétée sur la rivière Fourchue, à l'aide de données hydrométéorologiques et de température de l'eau récoltées entre 2011 et 2014. Trois différents modèles ont été appliqués: un modèle déterministe (modèle CEQUEAU, basé sur le calcul d'un bilan thermique), un modèle stochastique (autorégressif avec moyenne mobile et variables exogènes, ou ARMAX) et un modèle non-linéaire (autorégressif non linéaire avec variables exogènes, ou NARX). La performance de chaque modèle a été comparée aux observations à la station située la plus en aval de la zone d'étude, à l'aide du calcul du RMSE, du biais et du coefficient de Nash. Le modèle ARMAX obtient la meilleure performance selon ces critères, mais la variabilité de cette performance entre la période de calibration et de validation laisse envisager un possible sur-ajustement du modèle. Le modèle déterministe CEQUEAU a obtenu une performance légèrement moindre que les deux modèles statistiques, mais cette performance est plus stable entre la période de calibration et de validation.

Le réseau hydrique québécois fera très prochainement face à des changements importants, dus en particulier au développement du Nord québécois et à l'évolution du climat. Certaines populations aquatiques sont déjà soumises à des épisodes de stress thermiques, si bien que des changements dans la distribution des habitats d'espèces d'eau froide ont déjà été observés en Amérique du Nord. Les efforts de préservation des populations à risque devraient reposer sur une bonne connaissance des conditions thermiques naturelles auxquelles elles se sont adaptées. De telles connaissances nécessitent un suivi de la température de l'eau en rivière sur le territoire québécois, suivi inexistant à l'heure actuelle. Le projet en cours vise à établir un plan de réseau de mesure de la température de l'eau en rivière optimisé pour le territoire québécois, en faisant usage de techniques d'optimisation de réseaux de mesure et de l'analyse physiographique des régimes thermiques québécois. La méthodologie se base sur l'hypothèse qu'un tel réseau peut être conçu en échantillonnant de façon optimale les caractéristiques physiographiques et climatiques des bassins versants. La méthodologie sera validée sur des régions test pour lesquelles des réseaux de mesure de température de l'eau existent et dont les données sont accessibles.

De nombreuses études ont traité de la température de l'eau qui demeure une variable importante pour la qualité de l'eau et l'habitat aquatique. Il est donc impératif de pouvoir prédire son comportement afin de maximiser la gestion des rivières et de leur faune. La modélisation de la température de l'eau a été explorée selon différents types d'approches. Les modèles déterministes (ex. CEQEAU) demandent un grand nombre d'intrants et la connaissance de plusieurs paramètres afin de présenter les échanges de masse et d'énergie. Les modèles statistiques se basent sur les corrélations entre un nombre relativement restreint de variables d'entrée (ex. température de l'air, débit) et la température de l'eau. Dans la présente étude, nous proposons d'utiliser les modèles additifs généralisés (GAM), avec comme variables d'entrée, la température de l'air et le débit. Les GAM permettent de tenir compte de relations non-linéaires complexes entre les paramètres (la forme des relations est déterminée par les données). La performance des GAM sera analysée en comparant ces résultats à ceux des modèlessigmoïde et autorégressif. Les données utilisées sont les données journalières de la rivière Sainte-Marguerite qui est un affluent de la rivière Saguenay. Les premiers résultats montrent que les modèles GAM sont plus robustes aux non stationnarités.

La pollution atmosphérique constitue un risque environnemental majeur avec des effets néfastes sur la santé humaine, particulièrement l'occurrence et l'exacerbation des maladies pulmonaires et cardiovasculaires. Les particules fines (PM_2.5) font partie des principaux polluants de l'air responsables du smog et sont associés à des nombreux effets sur la santé. L'estimation de l'exposition individuelle aux PM_2.5 constitue un grand défi, car elle nécessite de nombreux points de mesures pour modéliser la variation spatiale journalière des concentrations.

Dans cette recherche, nous avons développé une approche d'interpolation hybride basée sur les modèles de krigeage avec dérive externe (KED) et de pondération inverse de la distance (IDW) afin de fournir des cartes journalières à haute résolution des PM_2.5 à l'échelle de l'île de Montréal. Afin de prendre en compte les variations temporelles, ces modèles ont été développés par groupes basés sur des conditions météorologiques synoptiques. Notre modèle d'interpolation spatiale réduit l'erreur d'estimation des concentrations journalières des PM_2.5 de 2.61 µg/m³ à 2.09 µg/m³ et améliore le R² de 62% à 83% en comparaison avec les mesures aux stations sans interpolation.

Dans cette présentation, nous proposons un modèle de marche aléatoire directionnel général pour décrire le mouvement d'un animal qui prend en compte les caractéristiques de l'environnement. Un processus circulaire-linéaire modélise la direction et la distance entre deux localisations consécutives de l'animal. Une structure de processus cachée permet des situations où l'animal manifeste des comportements de mouvement différents. L'originalité principale de l'approche proposée est que beaucoup de cibles environnementales peuvent être simultanément incluses dans le modèle directionnel. L'inférence du modèle utilise l'algorithme EM. Nous illustrons son utilisation en modélisant le mouvement d'un animal dans la forêt boréale du Canada.